Onvolledigheid

In 1931 bewees de wiskundige en logicus Gödel een stelling over onvolledigheid van rekenkundige systemen. Even geformuleerd: "Elk consistent formeel systeem met een voldoende expressieve rekenkundige component is in die rekenkundige component onvolledig".

Nu wordt Gödels stelling vaak misbruikt. Hier een opsomming van de limitaties van de zijn onvolledigheidsstelling, waar sommige mensen overheenstappen:

1. Het bewijs dat Gödel gaf gold voor formele systemen. Een logisch formeel systeem bestaat uit een taal L en een deductief systeem dat bestaat uit afleidingsregels R en (hoewel niet altijd) axiomata A. Een misbruik van Gödels stelling is dus bijvoorbeeld als men zegt: "Gödel bewees dat de Bijbel óf onvolledig óf inconsistent is". De Bijbel is geen formeel systeem.


2. De stelling gaat over rekenkundige formele systemen met een bepaalde expressiviteit (in de taal L moet je genoeg kunnen zeggen) en voldoende bewijsmogelijkheden (in R samen met A). Zeg dus niet "De logica blijft dus altijd formeel onvolledig" of "Wiskunde is altijd onvolledig". Een beperktere variant van de rekenkunde die bewezen volledig en consistent is is de Presburger aritmetiek. Standaard eerste-orde logica is dat ook!


3. De stelling gaat alleen over onvolledigheid in de rekenkundige component van zo'n formeel systeem. Het is onjuist om te zeggen "Omdat elk denksysteem wel wiskunde nodig heeft, toont Gödels stelling aan dat denksystemen maar beperkt zijn".

Summa: loop niet met Gödels onvolledigheidsstelling weg buiten de rekenkunde. Het is eigenlijk maar een technisch resultaat, waarvan de consequenties zelfs binnen de rekenkunde moeilijk in te schatten zijn.

Dit en meer over de implicaties van Gödels onvolledigheidsstelling is te lezen in het boek "Gödels Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse" door Torkel Franzén.